Question

16．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸交于C，與y軸交于A，過C、A分別作x軸，y軸的垂線交于點B，P是線段BC上的一個動點．
（1）求A，C坐標；
（2）若點Q（a，2a-6）位于第一象限內，問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別將x=0和y=0代入即可求出A，C坐標；
（2）分兩種情況：作輔助線，構建兩個全等三角形，通過AE=FQ列關于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）當x=0時，y=6，
∴A（0，6），
當y=0時，-$\frac{3}{4}$x+6=0，
x=8，
∴C（8，0）；
（2）由題可知：點Q是直線y=2x-6上一點，
如圖1，過Q作EF⊥y軸，交y軸于E，交直線CB于F，
∵Q（a，2a-6），
∴AE=2a-6-6=2a-12，FQ=8-a，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ=PQ，∠AQP=90°，
∴∠EQA+∠PQF=90°，
∵∠AEQ=90°，
∴∠EAQ+∠EQA=90°，
∴∠PQF=∠EAQ，
在△AQE和△QPF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEQ=∠QFP}\\{∠EAQ=∠PQF}\\{AQ=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△QFP（AAS），
∴AE=FQ，
則2a-12=8-a，
a=$\frac{20}{3}$；
如圖2，過Q作EF⊥y軸，交y軸于E，交直線CB于F，
∵Q（a，2a-6），
∴AE=6-（2a-6）=12-2a，FQ=8-a，
同理得：△AQE≌△QFP，
∴AE=FQ，
則是12-2a=8-a，
a=4；
綜上所述，當點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形時，a的值是4或$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形、矩形、全等三角形的性質和判定、一次函數圖象上點的坐標特征，明確等腰直角三角形時，利用輔助線構建兩全等三角形的作法，并熟練掌握全等三角形的判定方法，利用點Q的坐標表示線段的長，找等量關系列方程可解出．