Question

2．如圖，AB為半徑為2的⊙O的內接正八邊形的一邊，圖中陰影部分的面積為4π-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接OA，OB，過B作BC垂直于OA，求出八邊形的內角和，得出八邊形每一個內角，得到三角形AOB頂角為∠AOB為45°，求出三角形AOB面積，由扇形AOB面積減去三角形AOB面積求出一個陰影部分面積，乘以8即可得到結果．

解答 解：連接OA，OB，過B作BC⊥OA，
∵正八邊形的內角和為（8-2）×180°=1080°，
∴正八邊形的每一個內角為1080°÷8=135°，
∴∠OAB+∠OBA=135°，
∴∠AOB=45°，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴OC=BC=$\sqrt{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•BC=$\sqrt{2}$，
∴S_扇形AOB=$\frac{45π×2}{180}$=$\frac{π}{2}$，
則S_陰影部分=8（$\frac{π}{2}$-$\sqrt{2}$）=4π-8$\sqrt{2}$．
故答案為：4π-8$\sqrt{2}$

點評 此題考查了正多邊形和圓，等腰直角三角形的判定與性質，八邊形的性質，以及扇形面積公式，熟練掌握八邊形的性質是解本題的關鍵．