Question

1．我們知道平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分成了四個面積相等的小三角形．
（1）若點O為平行四邊形對角線AC上任意一點（不包括A、C）．如圖1，上述結論是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，說出它們之間還存在什么關系？為什么？
（2）若點O為平行四邊形內任意一點，如圖2，這四個小三角形又有怎樣的關系？請直接寫出結論，不需證明．

Answer 1

分析 （1）首先連接BD，交AC于點E，由四邊形ABCD是平行四邊形，可得BE=DE，然后由三角形中線的性質，證得S_△ABE=S_△ADE，S_△OBE=S_△ODE，S_△BCE=S_△DCE，繼而求得答案．
（2）過O作EF⊥AD，交AD于E，交CD于F，由三角形面積公式得出S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE，S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•OF，由平行四邊形的性質得出∴S_△AOD+S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$四邊形ABCD的面積，同理：S_△AOB+S_△COD=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，即可得出結論．

解答 解：（1）不成立．S_{△OAB=S△OAD}，S_△BOC=S_△DOC．理由如下：
連接BD，交AC于點E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BE=DE，
∴S_△ABE=S_△ADE，S_△OBE=S_△ODE，S_△BCE=S_△DCE，
∴S_△OAB=S_△OAD，S_△BOC=S_△DOC．
（2）S_△AOD+S_△BOC=S_△AOB+S_△COD．理由如下：
過O作EF⊥AD，交AD于E，交CD于F，如圖2所示：
則S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE，S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•OF，
∴S_△AOD+S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•（OE+OF）=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$四邊形ABCD的面積，
同理：S_△AOB+S_△COD=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△AOB+S_△COD．

點評 此題考查了平行四邊形的性質以及三角形面積公式．熟練掌握平行四邊形的性質和三角形面積公式，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．