Question

12．如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求△PBQ的面積；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形APQC的面積最小？最小面積是多少？
（3）當(dāng)t為多少時(shí)，△PQB與△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=4時(shí)，可求得AP、BQ，則可求得PB，利用三角形的面積可求得答案；
（2）可用t分別表示出AP、BQ，則可表示出PB，則可用t表示出四這形APQC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；
（3）由于兩三角形都是直角三角形，所有分兩種情況分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得到關(guān)于t的方程，可求得答案．

解答 解：（1）當(dāng)t=4時(shí)，AP=4，BQ=8，
∴PB=AB-AP=6-4=2，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}BP•BQ=8$（cm²）； 
（2）∵AP=t，BQ=2t，PB=6-t，
∴S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ=$\frac{1}{2}$AB•BC-$\frac{1}{2}$BP•BQ=$\frac{1}{2}$×6×12-$\frac{1}{2}$（6-t）2t=36-t（6-t）=t²-6t-36=（t-3）²+27，
∵S_{四邊形APQC}是關(guān)于t的二次函數(shù)，且開口向下，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_{四邊形APQC}有最小值27cm²；
（3）∵△PQB、△ABC是直角三角形，
∴當(dāng)△PQB與△ABC相似時(shí)有兩種情況，即$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BC}{BQ}$或$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{BP}$，
當(dāng)$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BC}{BQ}$時(shí)，則有$\frac{6}{6-t}$=$\frac{12}{2t}$，解得t=3；
當(dāng)$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{BP}$時(shí)，則有$\frac{6}{2t}$=$\frac{12}{6-t}$，解得t=1.2；
∴當(dāng)t=1.2或t=3時(shí)，△PQB與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題為相似三角形的綜合應(yīng)用，涉及三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及分類討論思想．在（1）中只要求得BP、BQ的長(zhǎng)即可，在（2）中用t表示出四邊形APQC的面積是解題的關(guān)鍵，注意二次函數(shù)最值的求法，在（3）中分兩種情況進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．