Question

（本題滿分8分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC．

（1）如圖①，過點A在△ABC外作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．

①判斷線段MN、BM、CN之間有何數量關系，并證明；

②若AM＝，BM＝，AB＝，試利用圖①驗證勾股定理＝；

（2）如圖②，過點A在△ABC內作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判斷線段MN、BM、CN之間有何數量關系？（直接寫出答案）

 

Answer 1

（1）①MN=BM+CN，證明見試題解析；②證明見試題解析；（2）BM = MN+CN．

【解析】

試題分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，進而得出△MAB≌△NCA，進而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數量關系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，進而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，進而得出△MAB≌△NCA，進而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數量關系．

試題解析：（1）①MN=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中，∵∠BMA=∠ANC，∠MAB=∠NCA，AB=AC，∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，

∴ab+c2+ab=（a+b）2，∴a2+b2=c2；

（2）MN=BM﹣CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中，∵∠BMA=∠ANC，∠MAB=∠NCA，AB=AC，∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AN﹣AM=BM﹣CN．

考點：全等三角形的判定與性質．