Question

9．如圖，過△ABC的頂點A分別作∠ACB及其外角的平分線的垂線，垂直分布為E、F，連接EF交AB于點M，交AC于點N，求證：
（1）四邊形AECF是矩形；
（2）MN=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義和鄰補角定義得出∠ECF=90°，由AE⊥CE，AF⊥CF，得出∠AEC=∠AFC=90°，即可得出四邊形AECF是矩形；
（2）由矩形的性質得出EN=FN，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CN=$\frac{1}{2}$EF=EN，由等腰三角形的性質得出∠NEC=∠ACE=∠BCE，證出EN∥BC，得出△AMN∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答 證明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACF=90°，
即∠ECF=90°，
又∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（2）∵四邊形AECF是矩形，
∴EN=FN，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，
∴CN=$\frac{1}{2}$EF=EN，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴EN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC．

點評 本題考查了矩形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的性質、平行線的判定、相似三角形的判定與性質；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題（2）的關鍵．