Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由切線的性質和圓周角定理可求得∠BDC=∠ADO，再由半徑相等可得∠ADO=∠A，可證得結論；
（2）由條件可求得∠DCE=∠A，再利用角的正切值可求得AE，在Rt△ACE中可求得AD，則在Rt△ADB中可求得AB．

解答 （1）證明：
連接OD，
∵CD是⊙O切線，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；
（2）解：
∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∴∠DCE=∠A，
∵CE=4，DE=2，
∴tan∠A=tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△ACE中，可得AE=8，
∴AD=6，
在在Rt△ADB中 可得BD=3，
∴根據勾股定理可得AB=3$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查切線的性質以及圓周角定理、直角三角形的性質等，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵，注意直角三角形中勾股定理的應用．