Question

如圖，已知c＜0，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)（x₂＞x₁），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）若x₂=1，BC=，求函數(shù)y=x²+bx+c的最小值；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC，垂足為P（點(diǎn)P在線段BC上），AP交y軸于點(diǎn)M．若=2，求拋物線y=x²+bx+c頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

       解：（1）∵x₂=1，BC=，

∴OC==2，

∴C（0，﹣2），

把B（1，0），C（0，﹣2）代入y=x²+bx+c，得：0=1+b﹣2，

解得：b=1，

∴拋物線的解析式為：y=x²+x+﹣2．

轉(zhuǎn)化為y=（x+）²﹣；

∴函數(shù)y=x²+bx+c的最小值為﹣．

（2）∵∠OAM+∠OBC=90°，∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OAM=∠OCB，又∵∠AOM=∠BOC=90°，

∴△AOM∽△COB，

∴，

∴OC=•OB=2OB，

∴﹣c=2x₂，即x₂=﹣．

∵x₂²+bx₂+c=0，將x₂=﹣代入化簡(jiǎn)得：c=2b﹣4．

拋物線的解析式為：y=x²+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）．

令x=﹣，則b=﹣2x．

y==c﹣=2b﹣4﹣=﹣4x﹣4﹣x²，

∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式為：y=﹣x²﹣4x﹣4（x＞﹣）．