Question

11．求滿足下列條件的二次函數的解析式．
（1）圖象經過A（0，3），B（1，4），C（-1，0）；
（2）圖象經過A（-1，0），B（3，0），函數有最小值-12；
（3）圖象頂點坐標為A（-2，-3），且經過點（-3，1）．

Answer 1

分析 （1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點代入解析式即可求得a、b、c的值．
（2）求出對稱軸為直線x=1，然后設頂點式解析式y=a（x-1）²-8，再把與x軸的一個交點坐標代入函數解析式計算即可得解．
（3）根據拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式為：y=a（x+2）²-3，再把（-3，1）代入，求出a的值，即可得出二次函數的解析式．

解答 解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
∵圖象經過A（0，3），B（1，4），C（-1，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a+b+c=4}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴二次函數解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵二次函數的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0），
∴對稱軸為直線x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∵函數最小值是-12，
∴設頂點式解析式y=a（x-1）²-12，
將點A（-1，0）代入得，a（-1-1）²-12=0，
解得a=3，
所以，y=3（x-1）²-12=3x²-6x-9，
故二次函數解析式為y=3x²-6x-9．
（3）設拋物線的解析式為：y=a（x+2）²-3，
把（-3，1）代入解析式得a=4，
則拋物線的解析式為：y=4（x+2）²-3．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．