Question

19．已知一元二次方程（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0（k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求k的值．

Answer 1

分析 由方程為一元二次方程即可得出k²-3k+2=（k-1）（k-2）≠0，解之可得出k≠1且k≠2，利用因式分解法解一元二次方程可得出x₁=-$\frac{k}{k-1}$、x₂=-$\frac{k-1}{k-2}$，由方程的兩根均為整數(shù)可設(shè)$\frac{k}{k-1}$=m，$\frac{k-1}{k-2}$=n（其中m、n均是不為1的整數(shù)），分析當(dāng)k=0時(shí)，x₁=0、x₂=-$\frac{1}{2}$，從而排除m=0的情況，結(jié)合k≠1可得出n≠0，解分式方程用含m、n的代數(shù)式表示出k值，即k=$\frac{m}{m-1}$=$\frac{2n-1}{n-1}$，用含n的代數(shù)式表示出m，結(jié)合m、n均為整數(shù)即可求出n=-1，將其代入$\frac{k-1}{k-2}$=n即可求出k值，此題得解．

解答 解：∵方程（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0為一元二次方程，
∴k²-3k+2=（k-1）（k-2）≠0，
∴k≠1且k≠2．
∵（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=[（k-1）x+k][（k-2）x+k-1]=0，
∴x₁=-$\frac{k}{k-1}$，x₂=-$\frac{k-1}{k-2}$．
∵一元二次方程（k²-3k+2）x²+（2k²-4k+1）x+k²-k=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，
∴設(shè)$\frac{k}{k-1}$=m，$\frac{k-1}{k-2}$=n（其中m、n均是不為1的整數(shù)），
∵當(dāng)k=0時(shí)，x₁=0，x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴m≠0，
∵k±1，
∴n≠0．
∴k=$\frac{m}{m-1}$=$\frac{2n-1}{n-1}$，
∴m=2-$\frac{1}{n}$．
∵m為整數(shù)，n為整數(shù)，
∴n=-1或n=1（舍去）．
∴$\frac{k-1}{k-2}$=-1，
解得：k=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的定義、因式分解法解一元二次方程以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是利用因式分解法解一元二次方程求出x₁=-$\frac{k}{k-1}$，x₂=-$\frac{k-1}{k-2}$．