Question

7．如圖，頂點為M的拋物線y=ax²-x-3與x軸交于點A、B，過點B的直線與拋物線的對稱軸相交于點C（2，4），點P是該拋物線在x軸下方部分上的一個動點，過點P的直線y=x+m分別與拋物線的對稱軸、直線BC相交于點Q、D．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當△DQM的面積等于△PQM面積時，求m的值；
（3）請求出PD+QD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式x=-$\frac{b}{2a}$即可解決問題．
（2）利用方程組求出點D坐標，再求出點Q坐標，根據(jù)中點坐標公式，可得點P坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（3）如圖，作CG⊥y軸于G，PD的延長線交GC于E，作PF⊥CG于F．因為直線PD的解析式為y=x+m，直線BC的解析式為y=-x+6，可知BC⊥PE，△CQE，△CDQ，△CDE，△PFE都是等腰直角三角形，推出DQ=CD=DE，所以DQ+DP=DE+DP=PE，所以欲求DQ+DP的最大值，只要求PE的最大值，因為當PF最大時，PE最大，所以當點P與點M重合時，PF最大，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意拋物線的對稱軸x=2，
∴-$\frac{-1}{2a}$=2，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．

（2）對于拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x-3，令y=0，得$\frac{1}{4}$x²-x-3=0，解得x=-2或6，
∴A（-2，0），B（6，0），
∵C（2，4），
∴直線BC的解析式為y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x+m}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6-m}{2}}\\{y=\frac{m+6}{2}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{6-m}{2}$，$\frac{m+6}{2}$），
∵Q（2，2+m），
∵△DQM的面積等于△PQM面積，
∴PQ=DQ，
∴P（$\frac{2+m}{2}$，$\frac{2+3m}{2}$），
把P（$\frac{2+m}{2}$，$\frac{2+3m}{2}$）代入y=$\frac{1}{4}$x²-x-3得$\frac{2+3m}{2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{2+m}{2}$）²-$\frac{2+m}{2}$-3，
整理得m²-28m-76=0，
解得m=14-4$\sqrt{17}$或14+4$\sqrt{17}$（舍棄），

（3）如圖，作CG⊥y軸于G，PD的延長線交GC于E，作PF⊥CG于F．

∵直線PD的解析式為y=x+m，直線BC的解析式為y=-x+6，
∴BC⊥PE，△CQE，△CDQ，△CDE，△PFE都是等腰直角三角形，
∴DQ=CD=DE，
∴DQ+DP=DE+DP=PE，
∴欲求DQ+DP的最大值，只要求PE的最大值，
∵當PF最大時，PE最大，
∴當點P與點M重合時，PF最大，
∵C（2，4），M（2，-4），
∴PF的最大值為8，
∴PE的最大值為8$\sqrt{2}$，
∴DQ+DP的最大值為8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、中點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，本題的突破點是把求DQ+DP的最大值轉(zhuǎn)化為求等腰直角三角形△EFP的斜邊的最大值，屬于中考壓軸題．