Question

10．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP交于點P，∠BPC=40°．
（1）求∠BAC；
（2）證明：點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；
（3）求∠CAP．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線定義、三角形的外角的性質解答；
（2）根據角平分線的性質證明；
（3）根據外角與內角性質得出∠BAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠PCB，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=40°，
∴∠A=2×40°=80°，
即∠BAC=80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分線，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF=PG，
同理，PE=PF，
∴PE=PF=PG，即點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；
（3）設∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
∴∠CAP=∠FAP=50°．

點評 本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．