Question

17．觀察下列各式的計算結果：
1-$\frac{1}{{2}^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$  1-$\frac{1}{{3}^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$
1-$\frac{1}{{4}^{2}}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$ 1-$\frac{1}{{5}^{2}}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}$…
（1）用你發現的規律填寫下列式子的結果：
1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$；  1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$；
（2）用你發現的規律計算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$）．

Answer 1

分析 （1）根據已知總結規律即可寫出1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=1-$\frac{1}{36}$=$\frac{35}{36}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$，1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$．
（2）由（1）中規律總結出一般規律，依次將要求的代數式分解，寫成分數相乘的形式，依次約分即可得出答案．

解答 解：（1）根據已知得：
1-$\frac{1}{{2}^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$，
1-$\frac{1}{{3}^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$，
1-$\frac{1}{{4}^{2}}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$，
1-$\frac{1}{{5}^{2}}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}$…
∴1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=1-$\frac{1}{36}$=$\frac{35}{36}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$，
 1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{6}$，$\frac{9}{10}$，$\frac{11}{10}$．

（2）由（1）可以得出一下規律：
1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n+1}{n}$，
∴（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$），
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2014}{2015}$×$\frac{2016}{2015}$×$\frac{2015}{2016}$×$\frac{2017}{2016}$，
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2017}{2016}$，
=$\frac{2017}{4032}$．

點評 題目考查了規律型數字的變化，解決此類問題的關鍵是通過已知條件，總結出一般規律，題目整體較難，特別是第（2）問，對學生能力要求較高，適合學生培優訓練．