Question

5．如圖，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）請用圓規和直尺作出⊙P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）．
（2）若⊙P與BC的切點為D，∠B=60°，AB=3，求劣弧$\widehat{AD}$的長．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC的角平分線BE，交AC與P，再以P為圓心，AP長為半徑畫圓即可；
（2）連接PD，根據四邊形內角和為360°可得∠APD=120°，根據角平分線的定義可得∠ABP=30°，然后再根據三角函數tan∠ABP=$\frac{AP}{AB}$，可得AP長，再利用弧長公式可得答案．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）連接PD，
∵∠B=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，∠APD=120°，
∵tan∠ABP=$\frac{AP}{AB}$，
∴AP=$\sqrt{3}$，
∴劣弧$\widehat{AD}$的長為$\frac{120π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$．

點評 此題主要考查了復雜作圖以及弧長計算，關鍵是掌握弧長公式．