Question

2．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，且∠COA=60°，以O(shè)A、OC為鄰邊作菱形OABC，且菱形OABC的面積為18$\sqrt{3}$．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）動點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿射線CB勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線BA的方向勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度均為2個單位/秒，連接PQ和AC，PQ和AC所在直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BQ的中點(diǎn)，連接DE，設(shè)動點(diǎn)P、Q的運(yùn)動時間為t，請將△DQE的面積S用含t的式子表示，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)Q作QF⊥y軸于點(diǎn)F，當(dāng)t為何值時，以P、B、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，解直角三角形求出OD、CD的長即可解決問題．
（2）分兩種情形討論即可①如圖2中，當(dāng)0≤t≤3時．②如圖3中，當(dāng)t＞3時．分別想辦法構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）分三種情形①如圖4中，當(dāng)0≤t≤3時．②當(dāng)t＞3時，由PB=QF時．③當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時，構(gòu)建PB=QF構(gòu)建方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，

設(shè)菱形OABC的邊長為x，則OA=OC=BC=x，
∵∠COA=60°，
∴CD=OC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵菱形OABC的面積為18$\sqrt{3}$，
∴x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=18$\sqrt{3}$，
解得：x=±6，
∴OA=OC=BC=6，
∴CD=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，OD=OC•cos60°=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，3$\sqrt{3}$），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（9，3$\sqrt{3}$）；

（2）①如圖2中，當(dāng)0≤t≤3時，作PK∥AB交AC于K，則△PCK是等邊三角形．作DH⊥AB于H．

∵PK=PC=AQ，∠PDK=∠ADQ，∠KPD=∠DQA，
∴△PDK≌△QDA，
∴DK=AD=$\frac{1}{2}$（6-2t）=3-t，DH=AD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），EQ=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（6+2t）=3+t，
∴S=$\frac{1}{2}$•QE•DH=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

②如圖3中，當(dāng)t＞3時，作PK∥AB交AC于K，則△PCK是等邊三角形．作DH⊥AB于H．

由△PDK≌△QDA，
∴DK=AD=$\frac{1}{2}$（2t-6）=t-3，DH=AD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-3），EQ=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（6+2t）=3+t，
∴S=$\frac{1}{2}$•QE•DH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{4}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}}&{（t＞3）}\end{array}\right.$．

（3）①如圖4中，當(dāng)0≤t≤3時，作QK⊥OA于K．則AK=t，F(xiàn)Q=OK=6-t，

當(dāng)PB=FQ時，四邊形PBQF是平行四邊形，
∴6-2t=6-t，解得t=0．
②當(dāng)t＞3時，由PB=QF時，2t-6=6-t，解得t=4，

③當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時，由PB=QF可得，t-6=2t-6，解得t=0，此種情形不存在．
綜上所述，當(dāng)t=0或4s時，以P、B、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．