Question

12．LED燈具有環保節能、投射范圍大、無頻閃、使用壽命較長等特點，在日常生活中，人們更傾向于LED燈的使用，某校數學興趣小組為了解LED燈泡與普通白熾燈泡的銷售情況，進行了市場調查：某商場購進一批30瓦的LED燈泡和普通白熾燈泡進行銷售，其進價與標價如下表：

	LED燈泡	普通白熾燈泡
進價（元）	45	25
標價（元）	60	30

（1）該商場購進了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個，LED燈泡按標價進行銷售，而普通白熾燈泡打九折銷售，當銷售完這批燈泡后可以獲利3200元，求該商場購進LED燈泡與普通白熾燈泡的數量分別為多少個？
（2）由于春節期間熱銷，很快將兩種燈泡銷售完，若該商場計劃再次購進兩種燈泡120個，在不打折的情況下，請問如何進貨，銷售完這批燈泡時獲利最多且不超過進貨價的30%，并求出此時這批燈泡的總利潤為多少元？

Answer 1

分析 （1）設該商場購進LED燈泡x個，普通白熾燈泡的數量為y個，利用該商場購進了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個和銷售完這批燈泡后可以獲利3200元列方程組，然后解方程組即可；
（2）設該商場購進LED燈泡a個，則購進普通白熾燈泡（120-a）個，這批燈泡的總利潤為W元，利用利潤的意義得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a）=10a+600，再根據銷售完這批燈泡時獲利最多且不超過進貨價的30%可確定a的范圍，然后根據一次函數的性質解決問題．

解答 解：（1）設該商場購進LED燈泡x個，普通白熾燈泡的數量為y個，
根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=300}\\{（60-45）x+（0.9×30-25）y=3200}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=200}\\{y=100}\end{array}\right.$，
答：該商場購進LED燈泡與普通白熾燈泡的數量分別為200個和100個；

（2）設該商場購進LED燈泡a個，則購進普通白熾燈泡（120-a）個，這批燈泡的總利潤為W元，
根據題意得W=（60-45）a+（30-25）（120-a）
=10a+600，
∵10a+600≤[45a+25（120-a）]×30%，解得a≤75，
∵k=10＞0，
∴W隨a的增大而增大，
∴a=75時，W最大，最大值為1350，此時購進普通白熾燈泡（120-75）=45個．
答：該商場購進LED燈泡75個，則購進普通白熾燈泡45個，這批燈泡的總利潤為1350元．

點評 本題考查了一次函數的應用：建立一次函數模型，利用一次函數的性質和自變量的取值范圍解決最值問題；也考查了二元一次方程組．