Question

1．如圖，在正方形ABCD中，AB=1，P是線段AD上的動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF的值為    （　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據正方形的對角線互相垂直可得OA⊥OD，對角線平分一組對角可得∠OAD=45°，然后求出四邊形OEPF為矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根據矩形的對邊相等可得PF=OE，根據等腰直角三角形的性質可得PE=OE，從而得到PE+PF=OA，然后根據正方形的性質解答即可．

解答 解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四邊形OEPF為矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=AE，
∴PE+PF=AE+OE=OA，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選D．

點評 本題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟記各性質求出PE+PF=OA是解題的關鍵．