Question

12．如圖所示，由1開始連續自然數組成，觀察規律，并完成以下各題．
（1）圖中第8行最后一個數是64，它是自然數8的平方，第8行共有15個數．
（2）用含n代數式表示：第n行第一個數是n²-2n+2，最后一個數是n²，第n行共有2n-1個數．
（3）n=10時，求第10行各數之和．

Answer 1

分析 （1）數為自然數，每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，最后一數為行數的平方，很容易得到所求之數；
（2）知第n行最后一數為n²，則第一個數為n²-2n+2，每行數由題意知每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，故個數為2n-1；
（3）通過以上兩步列公式代入求值，從而解得．

解答 解：（1）由題意知每行最后一數是行數的平方，
所以第8行最后一個數是該行數8的平方即得64，
每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，則第8行共有15個數；
（2）由（1）知第n-1行最后一數為（n-1）²，第n行第一個數比它大1，
故第n行第一個數為：（n-1）²+1，即n²-2n+2；
最后一數為：n²
每行數由題意知每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，故個數為2n-1；
（3）第n行各數之和：$\frac{{n}^{2}-2n+2+{n}^{2}}{2}×（2n-1）$=（n²-n+1）（2n-1）
當n=10時，（n²-n+1）（2n-1）=（10²-10+1）×（2×10-1）=1729．
故答案為：（1）64，8，15；
（2）n²-2n+2，n²，2n-1．

點評 本題考查了數字的規律，（1）看數的規律，自然數的排列，每排個數1，3，5，…從而求得；（2）最后一數是行數的平方，則第一個數即求得；（3）通過以上兩步列公式從而解得，本題看規律為關鍵．