Question

6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：
（1）AF=CG；
（2）DG=CF；
（3）直接寫出CF與DE的數量關系．

Answer 1

分析 （1）要證AF=CG，只需證明△AFC≌△CBG即可；
（2）連接AG，證明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再證出∠D=∠GAD，得出AG=DG，從而證出DG=CF；
（3）延長CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE．

解答 證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC
∴△BCG≌△CAF，
∴AF=CG；

（2）連接AG，如圖1所示：
在△ACG與△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACG=∠BCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
∴∠D=90°-∠GBA=90°-∠GAB=∠GAD，
∴AG=DG．
∵由（1）BG=CF，
∴DG=CF；

（3）如圖2，延長CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE與△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CEG}\\{∠D=∠EGC}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE．

點評 本題考查了三角形全等的判定和性質、等腰三角形的性質、平行線的判定及性質，三角形全等是解本題的關鍵．