Question

11．對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似．例如，如圖①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環繞的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互為順相似；如圖②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環繞的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互為逆相似．

（1）根據圖Ⅰ，圖Ⅱ和圖Ⅲ滿足的條件．可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ；其中，互為順相似的是①②；互為逆相似的是③．（填寫所有符合要求的序號）．

（2）如圖③，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點P在△ABC的邊AB上（不與點A，B重合）．過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似．請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，請在備用圖中畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據互為順相似和互為逆相似的定義即可作出判斷；
（2）根據點P在△ABC邊上的位置分為三種情況，需要分類討論，逐一分析求解即可．

解答 解：（1）互為順相似的是 ①②；互為逆相似的是 ③；
故答案為：①②，③；
（2）根據點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況：
第一種情況：如圖①，點P在BC（不含點B、C）上，過點P只能畫出2條截線PQ₁、PQ₂，分別使∠CPQ₁=∠A，∠BPQ₂=∠A，此時△PQ₁C、△PBQ₂都與△ABC互為逆相似．
第二種情況：如圖②，點P在AC（不含點A、C）上，過點B作∠CBM=∠A，BM交AC于點M．
當點P在AM（不含點M）上時，過點P₁只能畫出1條截線P₁Q，使∠AP₁Q=∠ABC，此時△AP₁Q與△ABC互為逆相似；
當點P在CM上時，過點P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，分別使∠AP₂Q₁=∠ABC，∠CP₂Q₂=∠ABC，此時△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都與△ABC互為逆相似．
第三種情況：如圖③，點P在AB（不含點A、B）上，過點C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分別交AB于點D、E．
當點P在AD（不含點D）上時，過點P只能畫出1條截線P₁Q，使∠AP₁Q=∠ACB，此時△AQP₁與△ABC互為逆相似；
當點P在DE上時，過點P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，分別使∠AP₂Q₁=∠ACB，∠BP₂Q₂=∠BCA，此時△AQ₁P₂、△Q₂BP₂
都與△ABC互為逆相似；
當點P在BE（不含點E）上時，過點P₃只能畫出1條截線P₃Q′，使∠BP₃Q′=∠BCA，此時△Q′BP₃與△ABC互為逆相似．

點評 本題是創新型中考壓軸題，主要考查了相似三角形的知識點、分類討論的數學思想以及接受與理解新生事物的能力．準確理解題設條件中“順相似”“逆相似”的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進行分類討論，避免漏解．