Question

17．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分線交BC于點E，交CA的延長線于D，交AB于點F，求證：AE²=EF•ED．

Answer 1

分析 利用直角三角形的性質以及等角對等邊得出∠B=∠EAB，∠B=∠D，進而得出△AEF∽△DEA，即可得出答案．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠D+∠C=90°，
∴∠B=∠D，
∵BC的垂直平分線交BC于點E，∠BAC=90°．
∴BE=EA，
∴∠B=∠BAE，
∴∠D=∠BAE，
∵∠FEA=∠AED，
∴△FEA∽△AED，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{DE}{AE}$
∴AE²=EF•ED．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及直角三角形的性質，根據已知得出∠EAB=∠D是解題關鍵．