Question

6．已知∠AOB=140°，∠AOC=30°，若射線OE繞點O在∠AOB內部旋轉，OF平分∠AOE．

（1）如圖1，當∠EOB=40°時，請直接寫出∠AOF和∠COF的度數：∠AOF=50°；∠COF=20°；
（2）請分別求出當∠COF=35°和10°時，∠EOB的度數（利用備用圖，畫出圖形并寫出簡要的過程）；
（3）若∠COF=n°（0＜n＜30），請用含n的式子表示∠EOB的度數（直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）先求得∠AOE=100°，然后由角平分線的定義可知∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=50°，然后根據∠COF=∠AOF-∠AOC求解即可；
（2）當∠COF=35°時，如圖①所示，由題意可知∠AOF=65°，由角平分線的定義可知∠AOE=130°，然后根據∠EOB=∠AOB-∠AOE=求解即可；當∠COF=10°時，應根據OF在∠AOC的內部和外部兩種情況分類計算；
（3）與（2）的方法相同，依據OF在∠AOC的內部和外部兩種情況分類計算即可．

解答 解：（1）∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-40°=100°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×100°=50°．
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=50°-30°=20°．
故答案為：50；20°．
（2）當∠COF=35°時，如圖①所示：

∵∠AOF=∠AOC+∠COF，
∴∠AOF=30°+35°=65°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=2×65°=130°．
∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140-130°=10°．
如圖②所示：當∠COF=10°時．

∵∠AOC=30°，∠COF=10°，
∴∠AOF=20°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=40°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-40°=100°．
如圖③所示：當∠COF=10°時．

∵∠AOC=30°，∠COF=10°，
∴∠AOF=40°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=80°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-80°=60°．
∴∠BOE的度數為100°或60°．
（3）如圖②所示：
∵∠AOC=30°，∠COF=n°，
∴∠AOF=（30-n）°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=（60-2n）°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-（60-2n）°=（80+2n）°．
如圖③所示：
∵∠AOC=30°，∠COF=n°，
∴∠AOF=（30+n）°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=（60+2n）°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-（60+2n）°=（80-2n）°．
綜上所述，∠EOB=（80-2n）°或（80+2n）°．

點評 本題主要考查的是角的計算，根據OF的位置進行分類討論是解題的關鍵．