Question

11．如圖，已知AD∥BC，AB⊥AD，點E、F分別在射線AD、BC上，若點E與點B關于AC對稱，點E點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則下列結論錯誤的是（　　）

• A． tan∠ADB=$\sqrt{2}$-1
• B． ∠DEF=67.5°
• C． ∠AGB=∠BEF
• D． cos∠AGB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 連接CE，設EF與BD相交于點O，根據軸對稱性可得AB=AE，并設為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據翻折的性質可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對各選項分析判斷利用排除法求解．

解答 解：如圖，連接CE，設EF與BD相交于點O，
由軸對稱性得，AB=AE，設為1，
則BE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵點E與點F關于BD對稱，
∴DE=BF=BE=$\sqrt{2}$，
∴AD=1+$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，故A錯誤；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故B錯誤；
∵AB=AE=BC=1，AD∥BC，AB⊥AD，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴∠BAC=∠CBE=45°，
∵點E與點F關于BD對稱，
∴EF⊥BD，
∵AB⊥AD，
∴∠EOD=∠BAD=90°，
∵∠ADB=∠ODE，
∴∠ABG=∠OED，
∵AD∥BC，
∴∠OED=∠BFE，
∴∠ABG=∠BFE，
∴∠AGB=∠BEF，故C錯誤；
由勾股定理得，OE²=BE²-BO²=（$\sqrt{2}$）²-（$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$）²=$\frac{4-2\sqrt{2}}{4}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}$，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB=$\frac{OE}{DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，故D正確．
故選：D．

點評 本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，設出邊長為1可使求解過程更容易理解．