Question

20．如圖，長方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，現有一動點P從A出發以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A-B-C運動，設點P運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，點P與點A的距離為5cm？
（2）當t為何值時，△APD是等腰三角形？
（3）當t為何值時，（2＜t＜5），以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且AP是斜邊？

Answer 1

分析 （1）分為兩種情況：P在BC上，P在DC上，根據勾股定理得出關于t的方程，求出即可；
（2）分AD=DP，DP=AP，AD=AP三種情況進行討論；
（3）求出BP=2t-4，CP=10-2t，根據AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²和AD²+CP²=AP²得出方程6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²，求出方程的解即可．

解答 解：（1）如圖1，若點P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t-4=3，
∴t=$\frac{7}{2}$；
如圖2，若點P在DC上，
則在Rt△ADP中，AP是斜邊，
∵AD=6，
∴AP＞6，
∴AP≠5．
綜上所述，當t=$\frac{7}{2}$秒時，點P與點A的距離為5cm；
由于沿矩形的邊A-B-C運動，此種情況不存在；

（2）當AD=DP時，如圖3，PC=（10-2t）cm，CD=4cm，DP=6cm，
∵CD²+PC²=DP²，即4²+（10-2t）²=6²，解得t=5±$\sqrt{5}$，即t₁=5+$\sqrt{5}$，t₂=5-$\sqrt{5}$；
當DP=AP時，如圖4，PC=PB=3cm，
∵AB=4cm，
∴AB+BP=4+3=7cm，
∴t=$\frac{7}{2}$（秒）；
當AD=AP=6時，PB=2t-4，
∵AB²+BP²=AP²，即4²+（2t-4）²=6²，解得t=2+$\sqrt{5}$或t=2-$\sqrt{5}$（舍去），
綜上所述，當t=（5±$\sqrt{5}$）秒或t=$\frac{7}{2}$秒時，△APD是等腰三角形；

（3）當2＜t＜5時，點P在BC邊上，
∵BP=2t-4，CP=10-2t，
∴AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²
由題意，有AD²+CP²=AP²
∴6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²
∴t=$\frac{13}{3}$＜5，
∴t=$\frac{13}{3}$．
答：當t=$\frac{13}{3}$秒時，以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且AP是斜邊．

點評 本題考查的是四邊形綜合題，涉及到等腰三角形的判定與性質、勾股定理、直角三角形的性質等知識，解答此題時要注意進行分類討論．