Question

如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，點O為BD的中點，且OA平分 ∠BAC．

（1）求證：OC平分∠ACD；

（2）求證：AB+CD=AC．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）過點O作OE⊥AC于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；

（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，根據全等三角形對應邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可．

試題解析：（1）過點O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，

∴OB=OE，

∵點O為BD的中點，

∴OB=OD，

∴OE=OD，

∴OC平分∠ACD；

（2）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，

∴AB=AE，

同理可得CD=CE，

∵AC=AE+CE，

∴AB+CD=AC．

考點：角平分線的性質．