Question

20．如圖，點I是三角形ABC的內心，連接AI并延長交BC于點E，交三角形ABC的外接圓于點D，連接BD．
（1）若∠BAC=70°，∠D=40°，求∠CED的度數；
（2）試問BD與ID相等嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）由點I是△ABC的內心，得到∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=35°，根據圓周角定理得到∠CBD=∠CAD=35°，∠D=40°，根據三角形的外角的性質即可得到結論；
（2）根據點I是△ABC的內心，得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，根據三角形的外角的性質得到∠BID=∠IBD，根據等腰三角形的判定即可得到結論．

解答 解：（1）∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=35°，
∵∠CBD=∠CAD=35°，∠D=40°，
∴∠CED=∠CBD+∠D=75°；

（2）BD=ID，
理由：∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD．

點評 本題考查了三角形的內切圓和內心的，以及等腰三角形的判定與性質，同弧所對的圓周角相等．