Question

（本題滿分12分）數學活動——“關于三角形全等的條件”

1.【問題提出】

學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．

2.【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．

3.【逐步探究】

（1）第一種情況：當∠B是直角時，如圖①，根據______定理，可得△ABC≌△DEF．

（2）第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF仍成立．請你完成證明.

已知：如圖②，△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

證明：

（3）第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．

在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

4.【深入思考】

∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？（請直接寫出結論．）

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若∠B _________，則△ABC≌△DEF．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）對于直角三角形，要判定全等，除了SAS,ASA,AAS,SSS,外還有HL可判定其全等；（2）如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作DH⊥DE交DE的延長線于H，要想證明△ABC和△DEF全等，只需證明∠A=∠D，即可，所以證明Rt△ACG和Rt△DFH全等即可，而根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，從而Rt△ACG和Rt△DFH全等；（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據前面的三種情況的結論，可得∠B不小于∠A．

試題解析：3.【逐步探究】

（1）HL 2分

（2）證明：分別作CG⊥AB，FH⊥DE

由∠ABC=∠DEF

得∠CBG=∠FEH4分

又BC=EF，所以可證明△ACG≌△DFH（AAS）

所以CG=FH ，因為AC=DF，

所以Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）

所以∠A=∠D，所以△ABC≌△DEF（AAS）

（3）如圖，

4.【深入思考】∠B≥∠A．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.直角三角形的判定與性質；3.尺規作圖.