Question

D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點，O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．
（1）如圖，當點O在△ABC的內部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數量關系？為什么？
（3）當OA與BC滿足

 

時，四邊形DGEF是一個矩形（直接填答案，不需證明．）

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）首先利用三角形中位線的性質得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．
（3）利用（1）中所求，只要鄰邊相互垂直的平行四邊形即為矩形．

解答： （1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點．
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上．
∵由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，
∴點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上時，
可得GD=

1

2

AO，GE=

1

2

BC，
∴DG=GE，
∴平行四邊形DEFG是菱形；
解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．
解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．

（3）由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形．
當OA⊥BC時，DG⊥GF，
故平行四邊形DGFE是矩形．
故答案是：OA⊥BC．

點評：此題主要考查了中點四邊形的判定以及三角形的中位線的性質和平行四邊形以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關的定理是解題關鍵．