Question

10．如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．
（1）求證：AD=AN；
（2）若AB=4$\sqrt{2}$，ON=1，求⊙O的半徑；
（3）若S_△CMN：S_△ADN=1：8，且AE=4，求CM．

Answer 1

分析 （1）先根據圓周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性質得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出結論；
（2）先根據垂徑定理求出AE的長，設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，連結AO，則AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根據勾股定理可得出x的值，進而得出結論；
（3）根據線段垂直平分線的判定得到AE平分ND，于是得到S_△AEN=S_△ADE通過△CMN∽△AEN，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BAD}\\{AE=AE}\\{∠AEN=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD=AN；
（2）解：∵AB=4$\sqrt{2}$，AE⊥CD，∴AE=2$\sqrt{2}$，
又∵ON=1，
∴設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，
r=OD=OE+ED=2x-1
連結AO，則AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2$\sqrt{2}$，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2$\sqrt{2}$）²+（x-1）²=（2x-1）²，
解得x=2，
∴r=2x-1=3；

（3）解：∵AD=AN，AB⊥CD，
∴AE平分ND，
∴S_△AEN=S_△ADE
∵S_△CMN：S_△AND=1：8，
∴S_△CMN：S_△AEN=1：4，
又∵△CMN∽△AEN，
∴（$\frac{CM}{AE}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵AE=4，
∴CM=2．

點評 本題考查的是垂徑定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．