Question

15．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點．
（1）請判斷△OEF的形狀，并說明理由．
（2）當△OEF滿足什么條件時，菱形ABCD是正方形．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AD，AC⊥BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EO=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)O=$\frac{1}{2}$AD，進而可得EO=FO，從而證出△OEF是等腰三角形；
（2）當△OEF是等腰直角三角形時，菱形ABCD是正方形，首先根據(jù)三角形中位線定理可得EO∥AD，F(xiàn)O∥AB，然后可得四邊形EOFA是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形對角相等可得∠EAF=∠EOF=90°，進而可得菱形ABCD是正方形．

解答 解：（1）△OEF是等腰三角形．理由如下：
∵四邊形是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
又∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，
∴在Rt△ABO和Rt△ADO中，
EO=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)O=$\frac{1}{2}$AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；

（2）當△OEF是等腰直角三角形時，菱形ABCD是正方形．
理由如下：
在菱形中，點O是AC、BD的中點，
又∵點E、F是AB，AD的中點，
∴EO、FO是△ABD的兩條中位線，
∴EO∥AD，F(xiàn)O∥AB，
∴四邊形EOFA是平行四邊形，
∴∠EAF=∠EOF=90°，
∴菱形ABCD是正方形．

點評 此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，以及三角形中位線定理，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等、對角線互相垂直且平分；有一個角是直角的菱形是正方形．