Question

12．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M在邊CD上，且$\frac{DM}{MC}=\frac{2}{3}$．
（1）如圖①，聯結BM，求證：BM⊥DC；
（2）如圖②，作∠EMF=90°，ME交射線AB于點E，MF交射線BC于點F，若AE=x，BF=y． 當點F在線段BC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，作DN⊥BC于N，則四邊形ABND是矩形，得出DN=AB=8，BN=AD=4，求出CN=BC-BN=6，由勾股定理求出CD，得出CD=BC=10，由等腰三角形的性質和平行線的性質得出∠ADB=∠DBC=∠BDC，求出DM=4=AD，由SAS證明△ADB≌△MDB，得出對應角相等即可；
（2）由角的互余關系得出∠C=∠MBA，∠CMF=∠BME，證出△CMF∽△BME，得出對應邊成比例，即可得出結果；
（3）分兩種情況：①當點E在線段AB上時，△CMF∽△BME，△CMF為等腰三角形，得出△BME為等腰三角形，當BE=BM=8時，AE=0；當BM=ME時，由三角函數求出BE=$\frac{48}{5}$＞AE，舍去；當BE=ME時，由三角函數求出BE=$\frac{20}{3}$，得出AE=AB-BE=$\frac{4}{3}$；
②當點E在BC延長線上時，同（2）可證△CMF∽△BME，△BME為等腰三角形，由∠MBE＞90°，得出BE=BM=8，因此AE=16；即可得出結果．

解答 （1）證明：連接BD，如圖1所示：
作DN⊥BC于N，則∠DNC=90°，四邊形ABND是矩形，
∴DN=AB=8，BN=AD=4，
∴CN=BC-BN=10-4=6，
CD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=BC=10，
∴∠DBC=∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=∠BDC，
∵$\frac{DM}{MC}=\frac{2}{3}$，
∴DM=4=AD，
在△ADB和△MDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DM}&{\;}\\{∠ADB=∠BDC}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△MDB（SAS），
∴∠DMB=∠A=90°，
BM=AB=8，
∴BM⊥DC；
（2）解：∵∠C=∠MBA=90°-∠MBC，
∠CMF=∠BME=90°-∠FMB，
∴△CMF∽△BME，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{CM}{BM}$，
即$\frac{10-y}{8-x}=\frac{6}{8}$，
解得：y=$\frac{3}{4}$x+4（0≤x≤8）；
（3）解：分兩種情況：
①當點E在線段AB上時，△CMF∽△BME，△CMF為等腰三角形，
∴△BME為等腰三角形，
當BE=BM=8時，AE=0；
當BM=ME時，BE=2×BM×cos∠MBA=2×8×$\frac{3}{5}$=$\frac{48}{5}$＞AE，舍去
當BE=ME時，BE=$\frac{\frac{1}{2}BM}{cos∠MBA}$=$\frac{\frac{1}{2}×8}{\frac{3}{5}}$=$\frac{20}{3}$，
∴AE=AB-BE=8-$\frac{20}{3}$=$\frac{4}{3}$；
②當點E在BC延長線上時，如圖2所示：
同（2）可證△CMF∽△BME，△BME為等腰三角形，
又∵∠MBE＞90°，
∴BE=BM=8，
∴AE=16．
綜上所述：若△MCF是等腰三角形，AE的值為0或$\frac{4}{3}$或16．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角函數等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（3）中，需要進行分類討論才能得出結果．