Question

已知拋物線y=－x²+2(m－3)x+m－1與x軸交于B,A兩點,其中點B在x軸的負半軸上,點A在x軸的正半軸上,該拋物線與y軸于點C。
(1)寫出拋物線的開口方向與點C的坐標(用含m的式子表示)；(2分)
(2)若tg∠CBA=3,試求拋物線的解析式；(6分)
(3)設點P(x,y)（其中0＜x＜3）是(2)中拋物線上的一個動點,試求四邊形AOCP的面積的最大值及此時點P的坐標。(6分)

Answer 1

（1）拋物線的開口向下,點C的坐標是(0,m－1)（2）y=－x²+2x+3（3）點P的坐標為()時,四邊形AOCP的面積達到最大值 

解：(1)拋物線的開口向下,點C的坐標是(0,m－1)    (2分)
(2)∵點A、B分別在x軸的正、負半軸上
∴方程－x²+2 (m－3)x+m－1=0的兩根異號,即m－1＞0
∴OC=m－1,由tan∠CAB=3,得OB=OC=(m－1) ∴點B的坐標為() (4分)
代入解析式得
由m+1≠0得    ∴m=4     (7分)
拋物線的解析式為y=－x²+2x+3       (8分)
（3）當0＜x＜3時,y＞0,∴四邊形AOCP的面積為
S_△COP+S_△OPA= (10分)=  (12分)
∴當點P的坐標為()時,四邊形AOCP的面積達到最大值   (14分)
（1）二次函數的二次項系數是-1＜0，因而拋物線的開口向下．在函數解析式中令x=0解得y的值，就是C的縱坐標；
（2）解方程-x²+2（m-3）x+m-1=0得到方程的兩個根，tan∠CBA=3，就可以轉化為OB，OC之間的關系，就可以用m表示出B點的坐標，把B點的坐標代入拋物線的解析式，就可以得到一個關于m的方程，從而解出m的值．得到函數的解析式；
（3）四邊形AOCP的面積為S_△COP+S_△OPA，這兩個三角形的面積就可以用x表示出來，從而把面積表示成x的函數，轉化為函數的最值問題．