Question

14．如圖，△ABC中∠A的平分線為AD，M為BC的中點，過點M作ME∥AD交BA的延長線于E，交AC于F．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AC=8，AB=6，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）過B作BN∥AC交EM延長線于N點，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得CF=BN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CFM=∠N，再根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義求出∠CFM=∠DAC=∠E，從而得到∠E=∠N，然后證明得到△BEN是等腰三角形即可解決問題
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠EFA，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出AE=AF，再證明BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC），求出CF即可．

解答 （1）證明：過B作BN∥AC交EM延長線于N點，
∵BN∥AC，BM=CM，
∴CF：BN=CM：BM，∠CFM=∠N，
∴CF=BN，
又∵AD∥ME，AD平分∠BAC，
∴∠CFM=∠DAC=∠E，
∴∠E=∠N，
∴△BEN是等腰三角形，
∴BE=BN=CF，

（2）解：∵∠EFA=∠CFM，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC，
∵BE=CF，
∴BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=$\frac{1}{2}$（8+6）=7，
∴AF=AC-FC=8-7=1．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．