Question

20．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半徑為1的⊙A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連接DE并延長，與邊BC的延長線交于點P．

（1）當∠B=30°時，求證：△ABC∽△EPC；
（2）當∠B=30°時，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；
（3）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件易求∠A=60°，又因為AD=AE，所以△ADE是等邊三角形，進而可得∠CEP=60°，由三角形內角和定理可求∠P=30°，繼而可證明△ABC∽△EPC；
（2）根據∠B=30°，∠ACB=90°可得∠BAC=60°，從而得到△ADE是等邊三角形，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPD=30°，然后根據等角對等邊的性質可得BD=PD，再根據△AEP與△BDP相似可得PE=AE，然后根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；
（3）設BD=BC=x，表示出AB、AC的長度，然后利用勾股定理列式求出x的值為4，過點C作CF∥DP交AB于點F，再根據平行線分線段成比例定理求出DF=2，然后求出BF的長度，再次利用平行線分線段成比例定理求出CP的長度，然后根據正切值的定義解答即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠PEC=∠AED=60°，
∵∠ACB=∠ECP=90°，
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△EPC；
（2）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
在△BDP中，∠ADE=∠B+∠BPD，
即60°=30°+∠BPD，
解得∠BPD=30°，
∴∠B=∠BPD，
∴BD=PD，
∵△AEP與△BDP相似，
∴AE=PE，
∵⊙A的半徑為1，
∴PE=1，
在Rt△PCE中，CE=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$；
（3）設BD=BC=x，
∵⊙A的半徑為1，CE=2，
∴AB=x+1，AC=2+1=3，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
過點C作CF∥DP交AB于點F，（如圖2）
則$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{DF}$，$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{CP}$，
即$\frac{1}{2}=\frac{1}{DF}$，
解得DF=2，
∴BF=BD-DF=4-2=2，
又由CF∥DP可得$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{CP}$，
即$\frac{2}{2}=\frac{4}{CP}$，
解得CP=4，
∴tan∠BPD=$\frac{CE}{CP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用，平行線分線段成比例定理，等角對等邊的性質，利用比例式的基本性質得到有關線段的數量關系解題的關鍵．