Question

14．如圖，△ABC中，AB=AC
（1）用直尺和圓規作出，△ABC的外接圓⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若BC=6$\sqrt{2}$，cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求⊙O的外接圓中劣弧BC的長．

Answer 1

分析 （1）作BC和AB的垂直平分線，它們相交于點O，然后以O為圓心，OA為半徑作圖即可；
（2）過點A作AD⊥BC于D，連接OB、OC，如圖，利用等腰三角形的性質得到AD垂直平分BC，則點O為AD上，再利用特殊角的三角函數值得到∠BAC=45°，則根據圓周角定理得到∠BOC=90°，所以△BOC為等腰直角三角形，則OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=6，然后根據弧長公式可計算出⊙O的外接圓中劣弧BC的長．

解答 解：（1）如圖，⊙O為所作；

（2）過點A作AD⊥BC于D，連接OB、OC，如圖，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，
∴點O為AD上，
∵∠BOC=2∠BAC，
∵cos∠BAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
∴⊙O的外接圓中劣弧BC的長=$\frac{90•π•6}{180}$=3π．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質和圓周角定理．