Question

7．浴缸有兩個水龍頭，一個放熱水，一個放冷水，兩水龍頭放水速度：放熱水的是a升/分，放冷水的速度是b升/分，下面有兩種放水方式：
方式一：先開熱水，使熱水注滿浴缸的一半，后一半容積的水接著開冷水龍頭注放．
方式二：前一半時間讓熱水龍頭注放，后一半時間讓冷水龍頭注放．
（1）在方式一中：設浴缸容積為V升，則先開熱水，熱水注滿浴缸一半所需的時間為$\frac{V}{2a}$分；
（2）兩種方式中，哪種方式更節省時間？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意即可得到結論；
（2）首先浴缸容積為V，然后求出方式一和方式二注滿時間為t、t′，最后作差比較．

解答 解：（1）先開熱水注滿浴缸一半所需的時間為$\frac{V}{2a}$分；
故答案為：$\frac{V}{2a}$；
（2）方式一：設浴缸容積為V，注滿時間為t，依題意，得t=$\frac{V}{2a}$+$\frac{V}{2b}$，
方式二：同樣設浴缸容積為V，注滿總時間為t′，依題意得$\frac{1}{2}$t′a+$\frac{1}{2}$t′b=V
所以t′=$\frac{2V}{a+b}$，故t-t′=$\frac{V}{2a}$+$\frac{V}{2b}$-$\frac{2V}{a+b}$=$\frac{V[（a+b）-4ab]}{2ab（a+b）}$=$\frac{V（a-b）^{2}}{2ab（a+b）}$，
分類討論：
（Ⅰ）當a=b時，t-t′=0，即t=t′
（Ⅱ）當a≠b時，$\frac{V（a-b）^{2}}{2ab（a+b）}$＞0，即t＞t′
綜上所述：（1）當放熱水速度與放冷水速度不相等時，選擇方式二節約時間．
（2）當兩水龍頭放水速度相等時，選其中任一方式都可以，因為此時注滿水的時間相等．

點評 本題考查的是分式的加減運算，解答認真仔細地閱讀、理解是關鍵．