Question

8．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD中點，三角形ECB是等邊三角形，求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 欲證明平行四邊形ABCD是矩形，只需證得該四邊形的一個內角是90°即可．

解答 證明：∵△BCE是等邊三角形，
∴CE=BE，∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=60°，∠DEC=∠DCE=60°．
則∠AEB=∠DEC，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE．
∴在△AEB與△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠AEB=∠DEC}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴∠A=∠D．
又∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點評 本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．