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13.如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從A向B以2cm/s的速度移動;點Q沿DA邊從D向A以1cm/s的速度移動.如果P,Q同時出發,用t(s)表示移動時間(0≤t≤6),那么:
(1)當t為何值時,△QAP為等腰直角三角形?
(2)在點P,Q運動過程中,四邊形QAPC的面積變化嗎?請說明理由.
(3)當t為何值時,以點A,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?

分析 (1)利用等腰直角三角形的判定方法得到AQ=AP,即6-t=2t,然后解方程求出t即可;
(2)利用面積的和差可計算出四邊形QAPC的面積=36,從而可判斷四邊形QAPC的面積不變化;
(3)討論:利用相似三角形的判定方法,當$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$時,△AQP∽△BCA或當$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BA}$時,△AQP∽△BAC,然后利用相似比分別得到關于t的方程,然后解方程求出t即可.

解答 解:(1)AP=2t,DQ=t,則AQ=AD-DQ=6-t,
當AQ=AP時,△QAP為等腰直角三角形,即6-t=2t,解得t=3,
所以當t為3s時,△QAP為等腰直角三角形;
(2)在點P,Q運動過程中,四邊形QAPC的面積不變化.
理由如下:四邊形QAPC的面積=S矩形ABCD-S△PBC-S△CDQ=6×12-$\frac{1}{2}$×(12-2t)×6-$\frac{1}{2}$×12×t=36;
(3)∵∠QAP=∠ABC=90°,
∴當$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$時,△AQP∽△BCA,
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$,解得t=3;
當$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BA}$時,△AQP∽△BAC,
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$,解得t=$\frac{6}{5}$,
綜上所述,當t為3s或$\frac{6}{5}$s時,以點A,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似.

點評 本題考查了相似三角形的綜合題:熟練掌握矩形的性質和相似三角形的判定與性質.會利用代數法解決動點問題,利用分類討論的思想解決數學問題.

練習冊系列答案
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