Question

8．如圖所示，兩個完全相同的含30°角的Rt△ABC和Rt△AED疊放在一起，BC交DE于點O，AB交DE于點G，BC交AE于點F，且∠DAB=30°，以下三個結論：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O為BC的中點；④AG=BG．其中正確的個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據已知得出∠CAF=30°，∠GAF=60°，進而得出∠AFB的度數；
②利用ASA證明△ADG≌△ACF得出答案；
③利用△AGO≌△AFO，得出AO=CO=AC，進而得出BO=CO=AO，即O為BC的中點；
④在Rt△AGE中，由∠AGE=90°，∠E=30°，推出AG=$\frac{1}{2}$AE，又AB=AE，可得AG=$\frac{1}{2}$AB解決問題．

解答 解：∵兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且∠DAB=30°．
∴∠CAF=30°，
∴∠GAF=60°，
∴∠AFB=90°，
∴AF丄BC正確，故①正確，
∵AD=AC，∠DAG=∠CAF，∠D=∠C=60°，
∴△ADG≌△ACF正確，故②正確，
∵△ADG≌△ACF，
∴AG=AF，
∵AO=AO，
∠AGO=∠AFO=90°，
∴△AGO≌△AFO，
∴∠OAF=30°，
∴∠OAC=60°，
∴AO=CO=AC，
∴BO=CO=AO，故③正確，
在Rt△AGE中，∵∠AGE=90°，∠E=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE，
∵AB=AE，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴AG=GB，故④正確．
故選D．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形中30度角的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．