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6.如圖,△ADB、△BCD都是等邊三角形,點E,F分別是AB,AD上兩個動點,滿足AE=DF.連接BF與DE相交于點G,CH⊥BF,垂足為H,連接CG.已知DG=a,BG=b,CG=2GH且a、b滿足下列關系:a2+b2=5,ab=2,
(1)求證:△ADE≌△DBF
(2)延長FB到點M,使得BM=DG,連結CM.先補全圖,然后求出GH的長.

分析 (1)根據SAS即可判定兩個三角形全等.
(2)如圖,延長FB到點M,使得BM=DG,連結CM.首先證明△CDG≌△CBM,CG=CM,∠DCG=∠BCM,由∠DCB=60°,∠GCM=60°,推出CG=CM=GM=3,由此即可解決問題.

解答 (1)證明:∵△ADB和△BCD是等邊三角形
∴∠DAE=∠BDF=60°,AD=BD,
在△DAE和△BDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠DAE=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$,
∴△ADE≌△DBF.

(2)解:如圖,延長FB到點M,使得BM=DG,連結CM.

∵a2+b2=5,ab=2,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=5+4=9,
∵a+b>0,
∴a+b=3,
由作圖知,GM=GB+BM=GB+DG=a+b=3,
∠ADB+∠BDC=120°
∠DBF+∠CBM=120°
由(1)得,∠ADE=∠BDF
∴∠CDG=∠CBM
∴在△CDG  和△CBM中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$,
∴△CDG≌△CBM,
∴CG=CM,∠DCG=∠BCM,
∵∠DCB=60°,∠GCM=60°
∴CG=CM=GM=3
又CG=2GH
∴GH=$\frac{3}{2}$.

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題,學會添加常用輔助線,屬于中考常考題型.

練習冊系列答案
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②若點P,Q分別從A,B兩點同時出發,問點P運動多少秒與Q相距3個單位長度?
(2)探索問題:若M為AQ的中點,N為BP的中點.當點P在P、Q上運動過程中,探索線段MN與線段PQ的數量關系(寫出過程).

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