Question

6．如圖，△ADB、△BCD都是等邊三角形，點E，F分別是AB，AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接BF與DE相交于點G，CH⊥BF，垂足為H，連接CG．已知DG=a，BG=b，CG=2GH且a、b滿足下列關系：a²+b²=5，ab=2，
（1）求證：△ADE≌△DBF
（2）延長FB到點M，使得BM=DG，連結CM．先補全圖，然后求出GH的長．

Answer 1

分析 （1）根據SAS即可判定兩個三角形全等．
（2）如圖，延長FB到點M，使得BM=DG，連結CM．首先證明△CDG≌△CBM，CG=CM，∠DCG=∠BCM，由∠DCB=60°，∠GCM=60°，推出CG=CM=GM=3，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：∵△ADB和△BCD是等邊三角形
∴∠DAE=∠BDF=60°，AD=BD，
在△DAE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠DAE=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DBF．

（2）解：如圖，延長FB到點M，使得BM=DG，連結CM．

∵a²+b²=5，ab=2，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=5+4=9，
∵a+b＞0，
∴a+b=3，
由作圖知，GM=GB+BM=GB+DG=a+b=3，
∠ADB+∠BDC=120°
∠DBF+∠CBM=120°
由（1）得，∠ADE=∠BDF
∴∠CDG=∠CBM
∴在△CDG  和△CBM中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM，
∴CG=CM，∠DCG=∠BCM，
∵∠DCB=60°，∠GCM=60°
∴CG=CM=GM=3
又CG=2GH
∴GH=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．