Question

如圖，在△ABC中，點D為BC邊的中點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F，且∠EDF與∠A互補．

（1）如圖1，若AB=AC，且∠A=90°，則線段DE與DF有何數量關系？請直接寫出結論；

（2）如圖2，若AB=AC，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，若AB：AC=m：n，探索線段DE與DF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）DE=DF （2）DE=DF 理由略 （3）DE：DF=n：m

【解析】

試題分析：（1）DE=DF；（2）分別過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，根據等于三角形的底邊上的中線性質可得DM=DN，根據角度之間的關系可得∠1=∠2，從而得出△DEM和△DFN全等；（3）同（2）的方法得出△DEM和△DFN相似，然后根據△ABD和△ACD的面積相等進行求解.

試題解析：（1）結論：DE=DF

（2）DE=DF依然成立．

過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD， 則∠EMD=∠FND=90°．

∵AB=AC，點D為BC中點， ∴AD平分∠BAC． ∴DM=DN．

∵在四邊形AMDN中.，∠DMA=∠DNA=90°．∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF與∠MAN互補， ∴∠MDN=∠EDF，

∴∠1=∠2， ∴△DEM≌△DFN（ASA）． ∴DE=DF．

（3）結論DE：DF=n：m．

過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，

同（2）可證∠1=∠2，又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN ∴．

∵點E為AC的中點， ∴S△ABD=S△ADC．

∴， ∴， 又∵， ∴．

考點：三角形全等和相似的判定.