Question

17．如圖，MN是半徑為2的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（　�。�

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 首先利用在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點P的位置，然后根據弧的度數發現一個等腰直角三角形計算．

解答 解：作點B關于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則P點就是所求作的點．
此時PA+PB最小，且等于AC的長．
連接OA，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∴弧AN的度數是60°，
則弧BN的度數是30°，
根據垂徑定理得弧CN的度數是30°，
則∠AOC=90°，又OA=OC=2，
則AC=2$\sqrt{2}$．
故選C．

點評 此題主要考查了軸對稱-最短路線問題，垂徑定理，直角三角形的性質等，確定點P的位置是本題的關鍵．