Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+5與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是拋物線上一動點，過點P作直線PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在x軸上方的拋物線上，當PE=5EF時，求點F的坐標；
（3）若點E’是點E關于直線PC的對稱點，當點E’落在y軸上時，請直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A （-1，0），B（5，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）∵點P的橫坐標為m，
∴P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0）．
∴PE=|y_P-y_E|=|（-m²+4m+5）-（-$\frac{3}{4}$m+3）|=|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|，
EF=|y_E-y_F|=|（-$\frac{3}{4}$m+3）-0|=|-$\frac{3}{4}$m+3|．
由題意，PE=5EF，即：|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=5|-$\frac{3}{4}$m+3|=|-$\frac{15}{4}$m+15|
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{15}{4}$m+15，整理得：2m²-17m+26=0，
解得：m=2或m=$\frac{13}{2}$；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-（-$\frac{15}{4}$m+15），整理得：m²-m-17=0，
解得：m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$．
由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=$\frac{13}{2}$、m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$這兩個解均舍去．
∴m=2或m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$．
∴點F的坐標為（2，0）或（$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$，0）．

（3）假設存在．
作出示意圖如下：

∵點E、E′關于直線PC對稱，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．
當四邊形PECE′是菱形存在時，
由直線CD解析式y=-$\frac{3}{4}$x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，
∴$\frac{ME}{OD}$=$\frac{CE}{CD}$，即 $\frac{|m|}{2}$=$\frac{CE}{5}$，解得CE=$\frac{5}{4}$|m|，
∴PE=CE=$\frac{5}{4}$|m|，又由（2）可知：PE=|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|
∴|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=$\frac{5}{4}$|m|．
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=$\frac{5}{4}$m，整理得：2m²-7m-4=0，解得m=4或m=-$\frac{1}{2}$；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{5}{4}$m，整理得：m²-6m-2=0，解得m₁=3+$\sqrt{11}$，m₂=3-$\sqrt{11}$．
由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=3+$\sqrt{11}$這個解舍去．

當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，
此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，也符合題意，
∴P（0，5）
綜上所述，存在滿足條件的m的值為0或-$\frac{1}{2}$或4或3+$\sqrt{11}$．

點評 本題考查二次函數壓綜合題、一次函數的圖象與性質、點的坐標、待定系數法、菱形、相似三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論思想與方程思想解決問題，解題時注意不能漏解．