Question

問題探究：

（一）新知學習：

圓內接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）．

（二）問題解決：

已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑．P是上任意一點，過點P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．

（1）若直徑AB⊥CD，對于上任意一點P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON內接于圓，并求此圓直徑的長；

（2）若直徑AB⊥CD，在點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程匯總，證明MN的長為定值，并求其定值；

（3）若直徑AB與CD相交成120°角．

①當點P運動到的中點P₁時（如圖二），求MN的長；

②當點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值．

（4）試問當直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值．

 

Answer 1

解：（1）如圖一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，

∴∠PMO=∠PNO=90°，

∴∠PMO+∠PNO=180°，

∴四邊形PMON內接于圓，直徑OP=2；

（2）如圖一，

∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，

∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，

∴四邊形PMON是矩形，

∴MN=OP=2，

∴MN的長為定值，該定值為2；

（3）①如圖二，

∵P₁是的中點，∠BOC=120°

∴∠COP₁=∠BOP₁=60°，∠MP₁N=60°．

∵P₁M⊥OC，P₁N⊥OB，

∴P₁M=P₁N，

∴△P₁MN是等邊三角形，

∴MN=P₁M．

∵P₁M=OP₁•sin∠MOP₁=2×sin60°=，

∴MN=；

②設四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長，

交⊙O′于點Q，連接QM，如圖三，

則有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，

在Rt△QMN中，sin∠MQN=，

∴MN=QN•sin∠MQN，

∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，

∴MN是定值．

（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．

當直徑AB與CD相交成90°角時，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．