Question

1．在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足為D．若D恰好為AB的三等分點，則tanA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理，求出CD的長，根據正切的意義，計算出正切值．由于點D在AB的三等分點上，所以有兩種情況，需要分類討論．

解答 解：設AB=AC=a，
（1）若AD=$\frac{2}{3}AB$時，即AD=$\frac{2}{3}a$，
在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{3}a$，
∴tanA=$\frac{CD}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}a}{\frac{2}{3}a}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）若AD=$\frac{1}{3}AB$時，即AD$\frac{1}{3}a$，
在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{9}{a}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$，
∴tanA=$\frac{CD}{AD}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$÷$\frac{1}{3}a$
=2$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$或2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了解直角三角形的性質、勾股定理等相關知識．理解點D在AB的三等分點上，分類討論是解決本題的關鍵．