Question

如圖，已知函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），過點(diǎn)A作AC∥y軸，AC=1（點(diǎn)C位于點(diǎn)A的下方），過點(diǎn)C作CD∥x軸，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足E在線段CD上，連接OC、OD．
（1）求△OCD的面積；
（2）當(dāng)BE=AC時(shí)，求CE的長；
（3）在軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（2）根據(jù)BE的長，可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得B點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案；
（3）存在；分兩種情況討論：①當(dāng)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接AD′交x軸于P，PA+PD最小，∵PA+PD=AD′，根據(jù)勾股定理求出即可；②當(dāng)P在y軸上時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D交y軸于P，PA+PD最小，∵PA+PD=A′D，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答： 解：（1）∵y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），
∴k=2，
∵AC∥y軸，AC=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），
∵CD∥x軸，點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），
∴S△OCD=

1

2

×1×1=

1

2

；
（2）∵BE=

1

2

AC，
∴BE=

1

2

，
∵BE⊥CD，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)=2-

1

2

=

3

2

，
由反比例函數(shù)y=

2

x

，
得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x=2÷

3

2

=

4

3

，
∴CE=

4

3

-1=

1

3

；
（3）存在；分兩種情況討論：如圖所示：
①當(dāng)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（2，1），
連接AD′交x軸于P，PA+PD最小；
∵PD′=PD，
∴PA+PD=AD′，
設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)A（1，2），D′（2，-1）代入得：

k+b=2 2k+b=-1

，
解得：k=-3，b=5，
∴y=-3x+5，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

3

，
∴P（

5

3

，0）；
②當(dāng)P在y軸上時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-1，2），
連接A′D交y軸于P，PA+PD最小；
∵PA=PA′，
∴PA+PD=A′D，
設(shè)直線A′D的解析式為y=ax+c，
把A′（-1，2），D（2，1）代入得：

-a+c=2 2a+c=1

，
解得：a=-

1

3

，c=

5

3

，
∴y=-

1

3

x+

5

3

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

5

3

，
∴P（0，

5

3

）；
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（

5

3

，0）或（0，

5

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及最短路程問題；利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式；通過作對(duì)稱點(diǎn)找出滿足最短路程的點(diǎn)是解決（3）的關(guān)鍵．