Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MAB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形（要求PQ∥OB），直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據拋物線與x軸的交點A與C坐標設出拋物線的解析式方程，將B坐標代入即可確定出解析式；
（2）過M作x軸垂線MN，三角形AMB面積=梯形MNOB面積+三角形AMN面積-三角形AOB面積，求出即可；
（3）根據題意設p（a，

1

2

a²+a-4），則Q（a，-a），分兩種情況分別討論即可求得．

解答： 解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
將B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=

1

2

，
則拋物線解析式為y=

1

2

（x+4）（x-2）=

1

2

x²+x-4；

（2）過M作MN⊥x軸，
將x=m代入拋物線得：y=

1

2

m²+m-4，即M（m，

1

2

m²+m-4），
∴MN=|

1

2

m²+m-4|=-

1

2

m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∴△AMB的面積為S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-m）×（-

1

2

m²-m+4+4）-

1

2

×4×4
=2（-

1

2

m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
當m=-2時，S取得最大值，最大值為4；
（3）如果使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形（要求PQ∥AB），則PQ=OB，
設p（a，

1

2

a²+a-4），則Q（a，-a），如圖，

①當點P在點Q上面時，則

1

2

a²+a-4-（-a）=4，
解得a=-2+2

5

或a=-2-2

5

，
∴Q（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）．
②當點Q在點P上面時，-a-（

1

2

a²+a-4）=4，
解得a=0或a=-4，
∴Q（-4，4）；
綜上，有三個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，相應的點Q的坐標為（-4，4）或（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求拋物線解析式，坐標與圖形性質，三角形及梯形的面積求法，以及二次函數的性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解本題的關鍵，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論求得結果．