Question

12．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為BC上任意一點（可以與B點或C重合），分別過B，C，D作射線AP的垂線，垂足分別是B'，C'，D'，則BB'+CC'+DD'的最大值與最小值的和為2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接AC，DP，根據正方形的性質可得出AB=CD，S_{正方形ABCD}=1，由三角形的面積公式即可得出$\frac{1}{2}$AP•（BB′+CC′+DD′）=1，結合AP的取值范圍即可得出BB′+CC′+DD′的范圍，將其最大值與最小值相加即可得出結論．

解答 解：連接AC，DP，如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1，
∴AB=CD，S_{正方形ABCD}=1，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=1，
∴$\frac{1}{2}$AP•BB′+$\frac{1}{2}$AP•CC′+$\frac{1}{2}$AP•DD′=$\frac{1}{2}$AP•（BB′+CC′+DD′）=1，
則BB′+CC′+DD′=$\frac{2}{AP}$，
∵1≤AP≤$\sqrt{2}$，
∴當P與B重合時，有最大值2；當P與C重合時，有最小值 $\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$≤BB′+CC′+DD′≤2，
∴BB'+CC'+DD'的最大值與最小值的和為2+$\sqrt{2}$．
故答案為：2+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質以及三角形的面積，根據正方形的性質結合三角形的面積找出BB′+CC′+DD′=$\frac{2}{AP}$是解題的關鍵．