Question

13．如圖1，以AB為腰向兩側(cè)分別作全等的等腰△ABC和△ABD，過(guò)點(diǎn)A作∠MAN，使∠MAN=∠BAC=α（0°＜α＜60°），將∠MAN的邊AM與AC疊合，繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，與射線CB，BD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為β．
（1）如圖1，當(dāng)0°＜β＜α?xí)r，線段BE與DF相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)α＜β＜2α?xí)r，線段CE，F(xiàn)D與線段BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由．
（3）聯(lián)結(jié)EF，在∠MAN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0°＜β＜2α），當(dāng)線段AD⊥EF時(shí)，請(qǐng)用含α的代數(shù)式直接表示出∠CEA的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BE=DF．只要證明△AEB≌△AFD即可．
（2）結(jié)論：CE-FD=BD，由△AEB≌△AFD，得BE=DF，由此即可證明．
（3）結(jié)論：90°-α．只要證明∠AOB=∠AOF=90°即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：BE=DF．
理由：如圖1中，

∵等腰△ABC和△ABD全等，
∴AB=AC=AD，∠C=∠ABC=∠ABD=∠D，∠BAC=∠BAD，
∵∠MAN=∠BAC=α，
∴∠MAN=∠BAD=α，
∴∠EAB=∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠D}\\{AB=AD}\\{∠EAB=∠FAD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD，
∴BE=DF．

（2）結(jié)論：CE-FD=BD．
理由：如圖2中所示，∵∠MAN=∠BAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠ABC=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD，
∴BE=DF，
∵BC=BD，
∴CE-FD=CE-BE=BC=BD．

（3）結(jié)論：90°-α．
理由：如圖3中，AE交BD于點(diǎn)O．

∵AD⊥EF，
∴∠DAF+∠AFE=90°，
∵∠DAF=∠BAE，∠ABD=∠AFE，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=∠AOF=90°，
∴∠AFD=90°-∠EAF=90°-α，
∵∠CEA=∠AFD，
∴∠CEA=90°-α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，正確尋找全等三角形，屬于中考常考題型．