Question

5．Rt△ABC與Rt△DEF的位置如圖所示，其中AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，DE=3$\sqrt{3}$，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射線CB以每秒1個單位長度的速度向右運動，射線DE、DF與射線AB分別交于N、M兩點，運動時間為t，當點E運動到與點B重合時停止運動．
（1）當Rt△DEF在起始時，求∠AMF的度數；
（2）設BC的中點的為P，當△PBM為等腰三角形時，求t的值；
（3）若兩個三角形重疊部分的面積為S，寫出S與t的函數關系式和相應的自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以求得∠B的度數，∠DFC的度數，從而可以求得∠AME的度數；
（2）根據題意可以分兩種情況，一種是DM與線段AB相交，一種是DF與AB的延長線相交，分別針對兩種情況再討論，畫出相應的圖形，求出相應的t的值；
（3）根據題意可以分兩種情況，一種是DM與線段AB相交，一種是DF與AB的延長線相交，然后根據題意可以分別求出兩種情況下S與t的函數關系式．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°，
在Rt△DEF中，∠D=30°，
∴∠DFC=60°，
∴∠FMB=∠DFC-∠B=30°，
∴∠AMF=180°-∠FMB=150°；
（2）∵BC=6，點P為線段BC的中點，
∴BP=3，
（ⅰ）若點M在線段AB上，
①當PB=PM時，PB=PM=3，
∵DE=3$\sqrt{3}$，∠D=30°，
∴EF=DE•tan30°=3，
∴此時t=0；
②如右圖（1）所示
當BP=BM時，BP=BM=3，
∵∠B=30°，∠DFE=60°，
∴∠FMB=30°，
∴△BMF為等腰三角形．
過點F作FH⊥MB于H，則BH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{3}{2}$，
 在Rt△BHF中，∠B=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴t=3-$\sqrt{3}$；
③如右圖（2）所示，
當MP=MB時，∠MPB=∠B=30
∵∠MFP=60°，
∴PM⊥MF，∠BMF=30°
∴FB=FM，
設FB=x，則FM=x，PF=2x．
∴3x=3，x=1
∴t=2；
（ⅱ）若點M在射線AB上，
如右圖（3）所示，
∵∠PBM=150°
∴當△PBM為等腰三角形時，有BP=BM=3
∵△BFM為等腰三角形，
∴過點F作FH⊥BM于H，則BH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BHF中，∠FBH=30°
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴t=3+$\sqrt{3}$，
綜上所述，t的值為0，3-$\sqrt{3}$，2，3+$\sqrt{3}$．
（3）當0＜t≤3時，BE=6-t，NE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t），
∴${S}_{△BEN}=\frac{1}{2}•（6-t）•\frac{\sqrt{3}}{3}（6-t）$=$\frac{\sqrt{3}}{6}（6-t）^{2}$，
過點F作FH⊥MB于H，如右圖（1）所示，
∵FB=3-t
∴HF=$\frac{1}{2}$（3-t），HB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），MB=$\sqrt{3}$（3-t），
∴${S}_{△BMF}=\frac{1}{2}•\sqrt{3}（3-t）•\frac{1}{2}（3-t）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（3-t）^{2}$，
∴S=S_△BEN-S_△BMF=$\frac{\sqrt{3}}{6}（6-t）^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}（3-t）^{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
當3＜t≤6時，BE=6-t，NE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t），如右圖（4）所示，
∴S=${S}_{△BEN}=\frac{1}{2}×（6-t）×\frac{\sqrt{3}}{3}（6-t）$=$\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}$，
由上可得，當0＜t≤3時，S=$-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
當3＜t≤6時，S=$\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}$，
即S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{15\sqrt{3}}{4}}&{0＜t≤3}\\{\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}}&{3＜t≤6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查三角形綜合題，解題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想、特殊角的三角函數值、分類討論的數學思想解答本題．